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Vorwort

strahlung:schwarzkoerper

Plancksches Strahlungsgesetz

Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die Abstrahlung von Licht und anderer elektromagnetischer Strahlung von einem idealisierten planckschen Strahler. Da dieser Körper gleichzeitig die Eigenschaft hat, alles Licht zu absorbieren, das auf ihn fällt, wird er auch schwarzer Strahler oder schwarzer Körper genannt.

Das Plancksche Strahlungsgesetz geht dabei von fundamentalen physikalischen Zusammenhängen aus. Reale Körper (leuchtende Quecksilberatome, Glühwendeln, glühende Rußpartikel …) werden immer weniger Licht abstrahlen als ein planckscher Strahler.

Pro Raumwinkel strahlt ein planckscher Strahler die spektrale Strahldichte $L_\lambda(\lambda,T)$ ab, die von der Wellenlänge $\lambda$ und der Temperatur $T$ abhängt: \[ L_\lambda(\lambda,T)= \frac{\partial L(\lambda,T)}{\partial \lambda)} = \frac{2hc^2}{n^2\lambda^5} \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{k_Bn\lambda T}}-1} \] ($k_B=1,380\times10^{-23}\text{J}/\text{K}$: Bolzmann-Konstante, $n$: Brechungsindex, $h=6,626\times 10^{-34}\text{Js}$: Planck-Konstante, $c=3\times 10^8\text{m}/\text{s}$: Lichtgeschwindigkeit)

Um daraus die Strahlungsleistung ($\Phi$) zu bestimmen, muss die Strahldichte ($L$) über den Raumwinkel, in den die Quelle abstrahlt ($\Omega$) und die Oberfläche des planckschen Körpers ($A$, wobei $\theta$ der Winkel ist, unter dem Licht aus der Fläche austritt oder auf sie trifft) integrieren. Der plancksche Strahler strahlt dabei Licht gleichmäßig in den vollen Raumwinkel von $4\pi$ aus. \[ \Phi_\lambda = \int d\Omega \int d A \cos(\theta) \,\, L_\lambda(\lambda,T) = \int\limits_0^{\pi} d \theta \int\limits_0^{2\pi} d\phi \, \sin(\theta) \, \int d A \cos(\theta) \,\, L_\lambda(\lambda,T) = 4\pi \, A \, L_\lambda(\lambda,T) \] \[ \Phi_\lambda(\lambda,T) = \frac{8{\pi}hc^2}{n^2\lambda^5} \frac{A}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{k_Bn\lambda T}}-1} \]

Normierte Spektren schwarzer Strahler bei unterschiedlichen Temperaturen zwischen 1000K (rot) und 20 000K (blau)

maximale Lichtausbeute eines Schwarzkörperstrahlers

Das plancksche Strahlungsgesetz gibt zunächst eine maximale Strahlungsleistung $\Phi$, die eine eine Lichtquelle mit einer Oberfläche $A$ und einer Temperatur $T$ bei einer Wellenlänge $\lambda$ abstrahlen kann. Bei realen Lichtquellen liegt diese Strahlungsleistung normalerweise um viele Größenordnungen geringer, vor allem für die meisten Wellenlängebereiche und Temperaturen.

Eine Glühbirne mit einem Glühdraht von $L=1\text{m}$ Länge und $D = 0.02 \text{mm}$ Durchmesser könnte daher bei $T=2800 \text{K}$ maximal folgende Strahlungleistung abstrahlen: \[ \Phi_\lambda(\lambda) = \frac{8{\pi}hc^2}{\lambda^5} \frac{LD\pi}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{k_Bn\lambda T}}-1} = \frac{9.42\times 10^{-20}\text{W}\text{m}^4}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{k_Bn\lambda T}}-1} \] Verteilt man die Strahlungsleistung (linke Achse) noch auf eine Kugelfläche mit 30 cm Radius so erhält man die Bestrahlungsstärke (rechte Achse), die ein Spektrometer in 30cm Abstand messen würde. Wolfram erreicht das theoretische Maximum eines Planckschen Strahlers nicht (blaue Linie). Der Emissionskoeffizient liegt nur bei etwa 0.3. Das so berechnete Spektrum stimmt sehr gut mit dem tatsächlich gemessenen Spektrum eines 50W Halogenspots überein. Eine 100 W Lampe, die entsprechend doppelt so viel Licht abstrahlen soll müsste einen Glühdraht enthalten, der die doppelte Oberlfäche hat.

Ein theoretischer (und aus thermodynamischen Gründen unerreichbarer) Maximalwert der Lichtausbeute bestünde, wenn sämtliche aufgenommene elektrische Energie vollständig in Strahlungsleistung umgesetzt würde. Hat diese Strahlungsleistung die spektrale Verteilung eines Schwarzen Strahlers, strahlt aber nur im sichtbaren Bereich (400nm-800nm) ab so gilt:

\[ \eta = \frac{\Phi_\mathrm{vis}}{\Phi_\mathrm{energ.}} = 683\frac{\mathrm{lm}}{\mathrm{W}} \frac{ \int\limits_{400}^{800}\mathrm{d}\lambda V(\lambda)\frac{1}{\lambda^5\mathrm{e}^{\frac{0.014388\mathrm{mK}}{\lambda T}}-1} }{ \int\limits_{400}^{800}\mathrm{d}\lambda \frac{1}{\lambda^5\mathrm{e}^{\frac{0.014388\mathrm{mK}}{\lambda T}}-1} } \]

Temperatur $T$ Effizienz $\eta$
2000K 86 lm/W
3000K 157 lm/W
4000K 193 lm/W
5000K 207 lm/W
5500K 210 lm/W
6000K 211 lm/W
6500K 212 lm/W
7000K 212 lm/W
8000K 211 lm/W
9000K 209 lm/W
15000K 200 lm/W

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strahlung/schwarzkoerper.txt · Zuletzt geändert: 2016/01/09 13:56 von sarina

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