Schwarzkörperstrahlung

Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die spektrale Strahldichte pro Raumwinkel des idealen schwarzen Körpers in Abhängigkeit von Wellenlänge ($\lambda$) und Temperatur ($T$)

$$L_\lambda(\lambda,T)= \frac{\partial L(\lambda,T)}{\partial \lambda)} = \frac{2hc^2}{n^2\lambda^5} \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{k_Bn\lambda T}}-1}$$

($k_B$: Bolzmann-Konstante, $n$: Brechungsindex, $h$: Planck-Konstante, $c$: Lichtgeschwindigkeit)

Die Strahldichte ($L$) hängt mit der Strahlungsleistung ($\Phi$) zusammen über:

$$L = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \Omega\partial A\cos\epsilon}$$

($\Omega$: Raumwinkel, $\epsilon$: Auftreffwinkel des Lichts auf Fläche $A$)

Ist $\Phi$ unabhängig vom Raumwinkel $\Omega$ oder vom Winkel $\epsilon$ unter dem das Licht durch eine Fläche $A$ tritt, so gilt: $L \propto \Phi$ und somit $L_\lambda \propto \Phi_\lambda$.

$$\Phi_\lambda(\lambda,T) \propto \frac{1}{\lambda^5} \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{0.014388\mathrm{mK}}{\lambda T}}-1}$$

Normierte Spektren schwarzer Strahler bei unterschiedlichen Temperaturen zwischen 1000K (rot) und 20 000K (blau)

Ein theoretischer (und aus thermodynamischen Gründen unerreichbarer) Maximalwert der Lichtausbeute bestünde, wenn sämtliche aufgenommene elektrische Energie vollständig in Strahlungsleistung umgesetzt würde. Hat diese Strahlungsleistung die spektrale Verteilung eines Schwarzen Strahlers, strahlt aber nur im sichtbaren Bereich (400nm-800nm) ab so gilt:

$$\eta = \frac{\Phi_\mathrm{vis}}{\Phi_\mathrm{energ.}} = 683\frac{\mathrm{lm}}{\mathrm{W}} \frac{ \int\limits_{400}^{800}\mathrm{d}\lambda V(\lambda)\frac{1}{\lambda^5\mathrm{e}^{\frac{0.014388\mathrm{mK}}{\lambda T}}-1} }{ \int\limits_{400}^{800}\mathrm{d}\lambda \frac{1}{\lambda^5\mathrm{e}^{\frac{0.014388\mathrm{mK}}{\lambda T}}-1} }$$