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--- strahlung:einheiten [2020/02/20 10:05] – sarina
+++ strahlung:einheiten [2026/03/12 19:24] (current) – [(1) W/cm²/nm : Energy pro Wellenlänge] sarina
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-{{menu>strahlung}}
 ====== Wichtige Einheiten ======
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 ^  Einheit  |  J oder eV | Ns oder kg/m/s²     |
 ^  Beispiel  |  2.48 eV = 3.97x10<sup>-19</sup> J |  1.33x10<sup>-27</sup> Ns  |
+===== Sonnenspektrum in verschiedenen Einheiten =====
 Die unterschiedlichen Einheiten für Strahlungsmengen (Gesamtenergie, Gesamtimpuls, gesamte Teilchenzahl) und für die verschiedenen Strahlungsbereiche (Energie eines Photons, Impuls eines Photons, Wellenlänge, Wellenzahl, Frequenz, Periode) sind besonders dann wichtig, wenn ein Spektrum der Strahlung dargestellt werden soll. In einem Spektrum wird aufgezeichnet, welche Menge in welchem Bereich vorhanden ist. Je nach dem welche Einheiten gewählt werden, sieht das Spektrum sehr unterschiedlich aus.
-In der Beleuchtungstechnik verwendet man meist die Einheit W/m²/nm: welche Leistung (Energie pro Zeit) kommt auf einer bestimmten Fläche innerhalb eines Wellenlängebereichs an.
+^  Einheit  ^  µW/cm²/nm  ^  nmol/s/cm²/nm  ^  µW/cm²/Hz  ^  nmol/s/cm²/Hz  ^
+^  Bedeutung |  Energie pro Fläche und Wellenlängenintervall  |  Anzahl an Photonen pro Sekunde, Fläche und Wellenlängenintervall  |  Energie pro Fläche und Frequenzintervall  |  Anzahl an Photonen pro Sekunde, Fläche und Frequenzintervall  |
+^  Umrechnung y-Achse  |  $\frac{dE}{d\lambda}$  |   $\frac{dN}{d\lambda} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda}{h\cdot c} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A}$  |  $\frac{dE}{df} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^2}{c}$  | $\frac{dN}{df} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^3}{hc^2} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A}$ |
+^  Umrechnung x-Achse  |  $\lambda$  |   $\lambda$  |  $f = \frac{c}{\lambda}$  |  $f = \frac{c}{\lambda}$  |
+^  Beispiel bei 500 nm |  100 µW/cm²/nm  |   0,40 nmol/s/cm²/nm  |  8,33 x 10<sup>-11</sup> µW/cm²/Hz  |  3,48 x 10<sup>-13</sup> nmol/s/cm²/Hz |
+==== (1) W/cm²/nm : Energy pro Wellenlänge ====
+In der Beleuchtungstechnik verwendet man meist die Einheit **W/m²/nm** oder **µW/cm²/nm**.
+W/m²/nm = 100 µW/cm²/nm
+µW/cm²/nm = 1 µW/(0.01m)²/nm = 10'000 µW/m²/nm
+$\left(\lambda ; \frac{dE}{d\lambda}\right)$ ;  [nm;µW/cm²/nm]
+Bedeutung: Leistung pro Flächenelement pro Wellenlängenelement
 [{{ :photometrie:sonnenspekctrum_in_verschiedenen_einheiten_1.png?400 | Sonnenspektrum in µW/cm²/nm: Energie in Abhängigkeit der Wellenlänge }}] {{clear}}
-In der Biologie und der Chemie wählt man meist die Einheit mol/s/m²/nm: welche Photonenzahl kommt auf innerhalb einer bestimmten Zeit, einer bestimmten Fläche und innerhalb eines Wellenlängenbereichs an. Da Photonen mit kurzer Wellenlänge mehr Energie tragen, wirkt das Spektrum in dieser Einheit rotlastig.
+==== (2) nmol/s/m²/nm : Photonenzahl pro Wellenlänge ====
+In der Biologie und der Photochemie wählt man meist die Einheit **mol/s/m²/nm**, da es darauf ankommt welche Anzahl von Photonen ankommt. Jedes Photon kann ein Molekül zu einer chemischen Reaktion anregen.
+Ein Photon hat die Energie hc/λ - der Wert ist verschwindet gering, so dass man üblicherweise die Energie von einem mol Photonen (also 6.02214076x10<sup>23</sup> Stück) zusammen fasst. Da Photonen mit kurzer Wellenlänge mehr Energie tragen, wirkt das Spektrum in dieser Einheit rotlastig.
+$\left(\lambda ; \frac{dN}{d\lambda}\right)$ ; [nm;mol/s/m²/nm]
+Umrechungsformel: $\frac{dN}{d\lambda} = \frac{d \frac{E}{h\cdot c / \lambda}}{d\lambda}  = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda}{h\cdot c} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda}{h\cdot{}c} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A} $
+Zahlenbeispiel: 100 µW/cm²/nm bei 500 nm entsprechen:
+$ \frac{dN}{d\lambda} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda}{h\cdot c} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A} \\ = 100 \mathrm{µW/cm²/nm} \cdot \frac{500\mathrm{nm}}{6.626\times{}10^{-34}\mathrm{Js}\cdot{}3\times{}10^{8}\mathrm{m/s}} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{6.022\times{}10^{23}}\\ = 100\times{}10^{-6} \mathrm{J/s/cm²/nm} \cdot \frac{500 \times{}10^{-9}\mathrm{m}}{6.626\times{}10^{-34}\mathrm{Js}\cdot{}3\times{}10^{8}\mathrm{m/s}}          \cdot \frac{\mathrm{mol}}{6.022\times{}10^{23}} \\ = \frac{5}{6.626\cdot{}3\cdot{}6.022}\times{}10^{2-6+2-9+34-8-23} \cdot \mathrm{\frac{J \cdot{}m\cdot{}s\cdot{}mol}{s\cdot{}cm²\cdot{}nm\cdot{}J\cdot{}s\cdot{}m}} \\ = \frac{5}{6.626\cdot{}3\cdot{}6.022}\times{}10^{-8} \cdot \mathrm{\frac{mol}{s\cdot{}cm²\cdot{}nm}} \\ = 0,40 \mathrm{nmol/s/cm²/nm}$
 [{{ :photometrie:sonnenspekctrum_in_verschiedenen_einheiten_2.png?400 | Sonnenspektrum in µmol/s/m²/nm: Photonenzahl in Abhängigkeit der Wellenlänge }}] {{clear}}
-In den beiden ersten Fällen wurde die Strahlungsbereich anhand der Wellenlänge unterschieden. Diese Einteilung ist bei Gitterspektrometern natürlich. Es gibt jedoch auch die Darstellung in Abhängigkeit der Frequenz. Prismen zerlegen das Licht näherungsweise in gleiche Frequenzbereiche. Bei der Darstellung als Funktion der Frequenz wird der rote Spektralbereich zusammengedrückt, der blaue Bereich gestreckt. Es ändert sich aber nicht nur die Abszisse (x-Achse) sondern auch die Ordinate (y-Achse). Da die einzelnen Bereiche im Roten schmaler werden, müssen sie gleichzeitig höher werden, damit die Energie oder die Teilchenzahl unverändert bleibt.
-[{{ :photometrie:sonnenspekctrum_in_verschiedenen_einheiten_3.png?400 | Sonnenspektrum in µW/cm²/Hz: Energie in Abhängigkeit der Frequenz }}]{{clear}}
-[{{ :photometrie:sonnenspekctrum_in_verschiedenen_einheiten_4.png?400 | Sonnenspektrum in µmol/s/m²/Hz: Photonenzahl in Abhängigkeit der Frequenz }}] {{clear}}
+==== (3) W/cm²/Hz : Energie pro Frequenz bzw. Energie pro Photonenenergie ====
+In den beiden ersten Fällen wurde die Strahlungsbereich anhand der Wellenlänge unterschieden. Diese Einteilung ist bei Gitterspektrometern natürlich. Es gibt jedoch auch die Darstellung in Abhängigkeit der Frequenz. Prismen zerlegen das Licht näherungsweise in gleiche Frequenzbereiche. Bei der Darstellung als Funktion der Frequenz wird der rote Spektralbereich zusammengedrückt, der blaue Bereich gestreckt. Es ändert sich aber nicht nur die Abszisse (x-Achse) sondern auch die Ordinate (y-Achse). Da die einzelnen Bereiche im Roten schmaler werden, müssen sie gleichzeitig höher werden, damit die Energie oder die Teilchenzahl unverändert bleibt.
+Die Frequenz auf der x-Achse ist auch direkt proportional zur Energie der einzelnen Photonen.
+$\left(f; \frac{dE}{df}\right)$ , [Hz;µW/cm²/Hz].
+**Rechnung**:
+$f = \frac{c}{\lambda}$
+$\frac{dE}{df} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{df} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \left(\frac{df}{d\lambda}\right)^{-1}  = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \left(\frac{d c/\lambda}{d\lambda}\right)^{-1}  = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \left(\frac{c}{\lambda^2}\right)^{-1} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^2}{c} $.
+**Zahlenbeispiel**: 100 µW/cm²/nm bei 500 nm entsprechen
+$\frac{dE}{df} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^2}{c} \\ = 100 \mathrm{µW/cm²/nm} \cdot \frac{\left(500 \mathrm{nm}\right)^2}{3\times{}10^8\mathrm{\frac{m}{s}}} \\ = \frac{100\cdot{}500^2}{3\times{}10^8} \cdot \mathrm{\frac{µW\cdot{}nm^2\cdot{}s}{m\cdot{}cm²\cdot{}nm}} \\ = \frac{25\times{}10^{2+2+2-9}}{3\times{}10^{8}} \cdot \mathrm{\frac{µW\cdot{}m\cdot{}nm\cdot{}s}{m\cdot{}cm²\cdot{}nm}} \\ = \frac{25}{3}\times{}10^{-3-8} \cdot \mathrm{\frac{µW\cdot{}s}{cm²}} = 8,33\times{}10^{-11} \mathrm{µW/cm²/Hz}$
+[{{ :photometrie:sonnenspekctrum_in_verschiedenen_einheiten_3.png?400 | Sonnenspektrum in µW/cm²/Hz: Energie in Abhängigkeit der Frequenz }}]
+==== (4): mol/s/m²/Hz : Photonenzahl pro Photonenenergie ====
+Die letzte Darstellung ist aus Sicht der Photochemie vielleicht die natürlichste. Prozesse, bei denen organische Moleküle Licht absorbieren, werden durch die Anzahl der Photonen und eher durch die Energie des einzelnen Photons als durch dessen Wellenlänge bestimmt. Hier erscheint das Sonnenspektrum extrem Infrarotlastig.
+$\left(f; \frac{dN}{df}\right)$ mit Einheiten [Hz;mol/s/m²/Hz].
+**Rechnung**:
+$f = \frac{c}{\lambda}$
+$\frac{dN}{df} = \frac{dE}{df} \cdot \frac{\lambda}{h\cdot c} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A} =  \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^2}{c} \cdot \frac{\lambda}{h\cdot c} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A} =  \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^3}{hc^2} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A} $.
+**Zahlenbeispiel:** 100 µW/cm²/nm bei 500 nm entsprechen
+$\frac{dN}{df} = \frac{dE}{d\lambda} \cdot \frac{\lambda^3}{hc^2} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{N_A} \\ = 100 \mathrm{µW/cm²/nm} \frac{(500 nm)^3}{6.626\times{}10^{-34}\mathrm{Js}\cdot{}\left(3\times{}10^{8}\mathrm{m/s}\right)^2} \cdot \frac{\mathrm{mol}}{6.022\times{}10^{23}} \\ = \frac{5^3\times{}10^{2-6-7-7-7}}{6.626\cdot3^2\cdot6.022\times{}10^{-9-34+8+8+23}} \mathrm{\frac{W\cdot{}m^3\cdot{}s^2\cdot{}mol}{cm²\cdot{}m\cdot{}Js\cdot{}m^2}} \\ = \frac{125\times{}10^{-25}}{359.12\times{}10^{-4}} \mathrm{\frac{J/s\cdot{}s\cdot{}mol}{J\cdot{}cm^2}} \\ = 0.348\times{}10^{-21}\mathrm{\frac{mol}{cm^2}} \\ = 0.348\times{}10^{-21}\mathrm{\frac{mol}{cm^2 s Hz}} \\ = 3,48\times{}10^{-22} \mathrm{mol/s/cm²/Hz} = 3,48\times{}10^{-13} \mathrm{nmol/s/cm²/Hz} $
-{{formelfreak>start}}Details zur Umrechnung:
+[{{ :photometrie:sonnenspekctrum_in_verschiedenen_einheiten_4.png?400 | Sonnenspektrum in µmol/s/m²/Hz: Photonenzahl in Abhängigkeit der Frequenz }}]
-  * Wellenlänge im Mol: 1 mol Photonen hat eine Energie von E=3,77x10<sup>-10</sup> Js f = 0,12Jm/λ. Als Zahlenwertgleichung erhält man: ** 1 µmol/s/m²/nm = 12000/(λ in nm) µW/cm²/nm **
-  * x-Achse in λ (nm) => y-Achse in\\ $E_\lambda=\frac{\partial E}{\partial \lambda}\quad\quad$ bzw. $\int\limits_{\lambda_0-\Delta\lambda/2}^{\lambda_0+\Delta\lambda/2}E_\lambda(\lambda)\mathrm d\lambda / \Delta\lambda$
-  * x-Achse in $\nu$ (Hz)\\ $E_\nu=\frac{\partial E}{\partial \nu}=\frac{\partial E}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial \nu} = E_\lambda \frac{c}{\nu^2} = E_\lambda\frac{\lambda^2}{c}\quad\quad$ bzw.  $\int\limits_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}E_\nu(\nu)\mathrm d\nu/ \Delta\nu = \int\limits_{c/(\nu_0+\Delta\nu/2)}^{c/(\nu_0+\Delta\nu/2)} E_\lambda(\lambda)\mathrm d\lambda /\Delta\nu$. \\ Damit enthalten selbe Flächenelemente die selbe Energie: $E_\nu\Delta\nu = \frac{\partial E}{\partial \nu}\Delta\nu = \frac{\partial E}{\partial \lambda}\frac{\partial \lambda}{\partial \nu}\cdot\frac{\partial\nu}{\partial\lambda}\Delta\lambda = E_\lambda \frac{c}{\nu^2}\cdot\frac{c}{\lambda^2}\Delta\lambda = E_\lambda\Delta\lambda$\\ Diese Darstellung wird in der Radioastronomie genutzt und auch als "[[wpde>Solarer_Flux|solar flux unit]]" oder "[[wpde>Jansky]]" bezeichnet (1 sfu = 10<sup>4</sup> Jy = 10<sup>-22</sup> W/m²/Hz)
-{{formelfreak>end}}