statistik
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— | statistik [2019/02/23 16:34] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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+ | ====== Statistik ====== | ||
+ | |||
+ | Gerade wenn es um die Beurteilung von Messwerten geht, kommen immer mal wieder verschiedene statistische Methoden zum Vorschein. Ich sammle hier in vielleicht etwas ungeordnete Weise Punkte, die an verschiedenen Stellen auf meiner Webseite relevant sind. | ||
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+ | ===== Mittelwert und Standardabweichung ===== | ||
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+ | Für eine Gruppe von $N$ Werten $w_i$ kann man immer einen **Mittelwert** $\overline w$ und eine **Standardabweichung** $\sigma$ angeben: | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \overline w &= \frac{1}{N}\sum\limits_i^N w_i | ||
+ | \\ | ||
+ | \sigma_N &= \sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_i^N \left(w_i - \overline w\right)^2} | ||
+ | \end{align} | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Der Mittelwert ist so definiert, dass der mittlere quadratische Abstand der einzelnen Werte $w_i$ zum Mittelwert $\overline w$ minimal wird(( $\sum_i(w_i-\overline w)^2=$ minimal $\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\overline w}\sum_i (w_i-\overline w)^2=0$ $\Rightarrow \sum_i 2(w_i-\overline w)(-1)=0$ $\Rightarrow -(\sum_i 2w_i) + 2N\overline w = 0$ $\Rightarrow \overline w = \frac{1}{N}\sum_i w_i$)). Die Standardabweichung gibt den quadratisch gemittelten Abstand der Einzelwerte $w_i$ zum Mittelwert $\overline w$ an. | ||
+ | |||
+ | Bei der Standardabweichung gibt es verschiedene Varianten, diese zu berechnen, abhängig davon, welche Abweichung von welchem Wert man bestimmen will. | ||
+ | * $\sigma_N=\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits_i^N \left(w_i - \overline w\right)^2}$\\ Standardabweichung der Einzelwerte - gibt an, wie stark die einzelnen Messwerte streuen. Verdoppelt man die Anzahl der Werte ändert sich die Standardabweichung nicht.\\ Beispiel: $\sigma_N\{1, | ||
+ | * $\sigma_{N-1}=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum\limits_i^N \left(w_i - \overline w\right)^2} = \sqrt{\frac{N}{N-1}}\sigma_N> | ||
+ | * $\sigma_{N-2}=\sqrt{\frac{1}{N-2}\sum\limits_i^N \left(w_i - \overline w\right)^2}$\\ Analog, wenn beriets zwei Freiheitsgrade aufgebraucht sind, beispielsweise wenn die Streuung nicht in Bezug auf einen Mittelwert, sondern auf eine Gerade berechnet wird.\\ Beispiel: $\sigma_{N-1}\{1, | ||
+ | |||
+ | Die **Standardabweichung des Mittelwerts**, | ||
+ | \[ | ||
+ | \sigma_\mathrm{MW} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} | ||
+ | \] | ||
+ | gibt an wie sich die statistische Streuung der Messwerte als Fehler auf den Mittelwert auswirkt. Die Standardabweichung des Mittelwerts ist deutlich kleiner als die Standardabweichung der Einzelwerte, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Bionomialverteilung ===== | ||
+ | |||
+ | Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Experimente, | ||
+ | |||
+ | Die Wahrscheinlichkeit bei $N$ Versuchen genau $a$ mal das Ereignis A zu erhalten und $N-a$ mal das Ereignis B beträgt: | ||
+ | \[ | ||
+ | p(a|N,p) = \binom{N}{a} p^a(1-p)^{N-a} | ||
+ | \] | ||
+ | Der Binomialkoeffizient $\binom{N}{a}=\frac{N!}{a!(N-a)!}$ gibt an, auf wie viele Arten man $a$ aus $N$ auswählen kann. Die Binomialkoeffizienten kann man auch aus dem [[wpde> | ||
+ | |||
+ | ===== Normalverteilung ===== | ||
+ | |||
+ | Wenn Werte um einen Mittelwert $\overline w$ mit der Streuung $\sigma$ normalverteilt sind, ist die Wahrscheinlichkeit einen Wert $w_i$ zu erhalten: | ||
+ | \[ | ||
+ | p(w_i) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\mathrm{e}^{-\frac{(w_i-\overline w)^2}{2\sigma^2}} | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | ==== Mittelwert und Standardabweichung ==== | ||
+ | |||
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